Bon, avant toute chose, il n’est pas question ici d’être partisan de qui que ce soit (raison pour laquelle j’ai attendu que l’élection soit terminée); il y a quelques jours, j’ai indiqué que, mathématiquement, le fait de s’abstenir n’était pas sans effet sur le résultat et j’ai eu droit à moult réflexions de twittos improvisés experts en maths — pas tous, hein…notamment, deux twittos sont à l’origine de la rédaction de cet article pour de vraies raisons mathématiques. Pour eux comme pour moi, il est parfaitement délicat de s’exprimer correctement mathématiquement à coups de 140 signes. Du coup, amoureux des maths, voici le détail.

Rappel sur les fractions

Désolé pour ceux d’entre vous pour qui les fractions n’ont aucun secret; une fraction, c’est un nombre entier divisé par un autre nombre entier non nul (si les nombres ne sont pas entier, on parle plutôt d’écriture fractionnée). 1/2 est une fraction, 22/17 est une fraction et, d’une façon générale, n’importe quel nombre entier est une fraction (puisqu’il reste inchangé si on le divise par 1).

Le premier des deux nombres, on l’appelle numérateur; le second, on l’appelle dénominateur. À dénominateur constant, la valeur d’une fraction augmente avec son numérateur (et baisse respectivement); en effet, avoir 3 parts d’un gateau coupé en 8 est plus qu’avoir 2 parts du même gateau (3/8 > 2/8).

À l’inverse, et c’est ça qui va nous intéresser, à numérateur constant, la valeur d’une fraction augmente quand son dénominateur baisse (et inversement); avoir 1 part d’un gateau coupé en 4 est plus qu’avoir 1 part du même gateau coupé en 6 ( 1/4 > 1/6 ).

Rappel sur le système électoral

Le résultat d’un candidat à une élection n’est pas, comme on pourrait l’imaginer intuitivement, le nombre de voix qu’il a obtenues. Le résultat d’un candidat à une élection est le nombre de voix qu’il a obtenues divisé par le nombre total de voix exprimées. Et on appelle nombre total de voix exprimées le nombre total de voix qui ne sont ni blancs ni nuls. Ainsi le résultat d’un candidat est une fraction. Par exemple, si sur 200 inscrits seuls 120 sont allés voter, et que sur les 120, 15 sont blancs, 10 sont nuls, et 20 sont pour un candidat A, alors le score de ce candidat A est :

20 / (120 – 15 – 10) = 20/95 = 21,1% (environ)

Mathématiques de l’abstention

Ce que j’ai indiqué il y a quelques jours, c’est qu’une abstention au second tour (à deux candidats) revenait à donner 0,5 voix à chaque candidat (et 1/n voix lors d’une élection à n candidats). Pourquoi dis-je cela ?

Si je décide de m’abstenir, certes d’un point de vue politique je ne donne adhésion à aucun des candidats (ça, personne ne peut le remettre en cause); cependant, en m’abstenant, je réduis le nombre totale de voix exprimées; je réduis le dénominateur des résultats de chaque candidat et j’accrois donc leur score. Malgré moi, certes, mais c’est un fait mathématique. (on pourrait débattre de savoir si le fonctionnement actuel du système électoral est pertinent ou pas, ce n’est pas du tout l’objet de cet article; mais nul doute qu’il y aurait beaucoup de choses à dire).

Alors ai-je raison de prétendre qu’une voix abstenue se répartit équitablement entre les candidats encore en lice ? En fait non. En réalité, c’est un peu plus subtil.

Imaginons un second tour d’une élection auquel, sur 1000 voix exprimées, le candidat A obtient 540 voix et le candidat B 460 voix.

Naturellement, les scores sont :

  • candidat A : 54%
  • candidat B : 46%

Mettons que 100 votants s’abstiennent et imaginons trois cas; dans le premier cas, les 100 abstentions sont des voix prélevées intégralement au candidat A; dans le second cas, les 100 abstentions sont des voix prélevées intégralement au candidat B; dans le troisième cas, 54 abstentions sont prélevées au candidat A et 46 au candidat B.

1e cas

  • candidat A : (540 – 100) / (1000 – 100) = 48,9 %
  • candidat B : 460 / (1000 – 100) = 51,1 %

2e cas

  • candidat A : 540 / (1000 – 100) = 60 %
  • candidat B : (460 – 100) / (1000 – 100) = 40 %

3e cas

  • candidat A : (540 – 54) / (1000 – 100) = 54 %
  • candidat B : (460 – 46) / (1000 – 100) = 46 %

Conclusion

Que peut-on conclure de ceci ? Tout d’abord, mathématiquement, oui, l’abstention peut faire basculer le résultat d’une élection (cf. cas 1). Mais ce qu’on peut conclure également, c’est que l’abstention ne change rien au résultat uniquement si les abstentions sont réparties exactement comme le nombre de voix obtenues par chaque candidat.

Tout ça, c’est bien beau, mais la réalité d’une élection n’est pas purement mathématique et il est à peu près impossible, d’une part, de savoir précisément pour quel candidat un électeur qui s’abstient aurait voté s’il y était obligé (puisqu’il s’abstient) et, d’autre part, les enjeux politiques, les idéologies et le contexte sociétal font que les abstentions ne sont pas aléatoires, et ne peuvent ainsi donc pas simplement être équi-réparties sur l’ensemble des candidats (c’est une simplification que j’opérais qui est inexacte). Je vous invite, pour plus d’informations à ce sujet, à vous renseigner sur ce qu’on appelle l’abstention différenciée (en effet, plus un candidat, fût-il petit, obtient l’adhésion de ces partisans et moins ceux-ci s’abstiendront…et inversement).

Du coup, faut-il s’abstenir de s’abstenir ?

Absolument pas ! Notre système électoral repose sur notre liberté absolue, à chacun, d’aller voter pour le candidat de son choix, d’aller voter blanc, ou de ne pas aller voter. Les gens qui sont morts pour qu’on puisse voter ne sont pas morts pour qu’on soit obligé d’aller voter, mais pour qu’on ait la liberté d’aller voter, et donc également de ne pas aller voter.

En revanche, croire que s’abstenir de voter n’influence pas le résultat d’une élection est une illusion dont il faut être conscient. Sur une population de 40 millions d’électeurs, par exemple, il n’existe qu’un seul cas dans lequel les abstentions n’influencent pas le résultat du vote : le cas où tous les abstentionnistes, s’ils avaient voté, n’auraient pas du tout apporté de modification au résultat final. Un seul cas. Si sur une quinzaine de millions de voix non exprimées une seul s’avérait différente, le résultat serait déjà altéré.

5 comments

  • Bonjour, l’article est intéressant mais je trouve limité de considérer qu’un abstentionniste soit toujours « prélevé » à un candidat. Si je comprends bien cela veut dire que si l’abstentionniste avait été forcé de voter, il aurait forcément voté pour un des deux candidat, ce qui exclue le vote blanc. Or étant donné la méthode de décompte des voix, un vote blanc et une abstention ont le même effet sur le résultat final. Il y a omission d’un cas.

    La conclusion de l’article (encore une fois si j’ai bien compris) dit que l’abstention ne modifie pas le résultat que si elle est équitablement répartie entre les candidats. C’est avoir un point de vue global sur la chose, ce qui me semble limité car le (non) vote est individuel. Selon moi il vaut mieux étudier l’effet d’une seule abstention selon ce qu’aurait voté la personne. Car attribuer les effets de l’abstention à tout abstentionniste – quoiqu’il aurait pu voté si on l’avait forcé – me semble absurde. Si l’abstention fait perdre A, dira-t-on que les potentiels électeurs de B qui se sont abstenus – et font donc parti de l’abstention – ont fait perdre A ? C’est comme dire que tous les votants ont fait gagner B, même ceux qui ont voté A !

  • Cher Bruce,
    Dire que si sur quinze millions de voix non exprimées une seule change de « provenance » ça fait changer le résultat, c’est techniquement correct, mais il ne faut pas oublier que si on en change deux ou plus, on peut souvent (voir P.S. pour le détail) les échanger (permuter) et tomber si le même résultat. Donc dire qu’il s’agit d’un seul cas est incorrect. Dans ton exemple, 56 (ou 44) parmi 100 abstentions représentent plus de 4.9 x10^28 cas sur 2^100. Ça fait quand même 3.9% des cas.

    Pour répondre à 8idule, oui, le vote blanc a le même effet, mais du coup ça n’a pas grand intérêt de le prendre en compte mathématiquement. On pourrait changer tout l’article en échangeant les mots « vote blanc », « vote nul » et « abstention » et il resterait pertinent. D’ailleurs la conclusion parle bien de « voix non exprimées » qui englobe ces trois cas. Mais effectivement l’article gagnerait par contre à clarifier en disant que l’obligation à voter serait aussi une obligation à trancher entre les candidats.
    Quant à l’effet d’un vote individuel, ça n’est pas très marquant, et l’exemple avec 100 abstentionnistes provenant des électeurs potentiels d’un seul des deux candidats est tout aussi pertinent : on voit bien que les abstentionnistes de A avantagent B et inversement.

    PS : Je dirais que les seuls cas où une permutation équivalente n’est pas possible, c’est si on change une seule voix, ou un multiple du nombre de candidats plus une voix.

    • Erratum: À la fin techniquement je parlais bien de combinaison et pas de permutation, mais bon j’espère que c’était quand même clair.

  • Bjr,
    Les vidéos de vulgarisation physique sont très chouettes, les bêtises pseudo-mathématiques (« si on dit que les abstentions c’est des voix enlevées à un candidat, ça change le résultat !!! incoryable ») moins ;_;
    Bsx